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地 瓜 哥 博 客 网 地 瓜 哥 博 客 网 分 享 技 术 带 来 的 喜 悦 — h t t p s : / / w w w . d i g u a g e . c o m / 菜 单 首 页 分 类 关 于 归 档 算 法 模 式 ： 子 集 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 1 0 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 回 溯 介 绍 一 种 “ 一 步 三 回 头 ” 、 “ 落 棋 有 悔 ” 的 算 法 模 式 ： 回 溯 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 无 需 “ 一 步 三 回 头 ” ， 无 需 “ 落 棋 有 悔 ” 也 可 以 解 决 排 列 组 合 问 题 的 算 法 模 式 ： 子 集 。 子 集 超 级 多 的 编 程 面 试 问 题 都 会 涉 及 到 排 列 和 组 合 问 题 。 一 般 都 是 使 用 回 溯 来 解 决 该 类 问 题 ， 回 溯 法 属 于 深 度 优 先 搜 索 。 子 集 问 题 模 式 讲 的 是 用 广 度 优 先 搜 索 来 处 理 这 些 问 题 。 子 集 模 式 适 用 于 子 集 与 全 排 列 。 下 面 分 别 介 绍 ： 处 理 子 集 问 题 举 例 来 说 明 一 下 这 个 模 式 ： 给 一 组 数 字 [ 1 , 5 , 3 ] 我 们 从 空 集 开 始 ： [ [ ] ] 把 第 一 个 数 1 ， 加 到 之 前 已 经 存 在 的 集 合 中 ： [ [ ] , [ 1 ] ] ; 把 第 二 个 数 5 ， 加 到 之 前 的 集 合 中 得 到 ： [ [ ] , [ 1 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] ] ; 再 加 第 三 个 数 3 ， 则 有 ： [ [ ] , [ 1 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] , [ 3 ] , [ 1 , 3 ] , [ 5 , 3 ] , [ 1 , 5 , 3 ] ] . 如 果 原 有 集 合 中 存 在 重 复 元 素 ， 那 么 就 需 要 针 对 这 种 情 况 特 殊 处 理 一 下 。 流 程 如 下 ： 给 一 组 数 字 [ 5 , 1 , 5 ] 先 对 原 有 集 合 进 行 排 序 ： [ 1 , 5 , 3 ] 从 空 集 开 始 ： [ [ ] ] 把 第 一 个 数 1 ， 加 到 之 前 已 经 存 在 的 集 合 中 ： [ [ ] , [ 1 ] ] ; 把 第 二 个 数 5 ， 加 到 之 前 的 集 合 中 得 到 ： [ [ ] , [ 1 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] ] ; 处 理 第 三 个 数 ， 也 是 5 时 需 要 注 意 ： 如 果 还 是 按 照 上 述 方 案 处 理 ， 那 么 就 会 得 到 如 下 结 果 ： [ [ ] , [ 1 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] , [ 5 , 5 ] , [ 1 , 5 , 5 ] ] 。 这 里 出 现 了 重 复 子 集 ： [ 5 ] , [ 1 , 5 ] 。 该 方 案 不 通 过 ， ❌ 观 察 最 后 生 成 的 所 有 子 集 与 重 复 的 子 集 ， 会 发 现 重 复 的 子 集 ， 在 处 理 第 二 个 数 时 ， 已 经 处 理 过 [ ] , [ 1 ] ， 如 果 再 次 处 理 5 ， 那 么 就 会 出 现 重 复 。 所 以 ， 只 需 要 处 理 在 处 理 上 一 个 相 同 的 数 时 新 增 加 的 子 集 即 可 。 上 一 个 相 同 数 新 增 的 子 集 是 [ 5 ] , [ 1 , 5 ] ， 只 需 要 在 这 些 子 集 后 面 增 加 当 前 数 字 即 可 。 这 样 最 后 的 子 集 就 是 ： [ [ ] , [ 1 ] , [ 5 ] , [ 1 , 5 ] , [ 5 , 5 ] , [ 1 , 5 , 5 ] ] 。 方 案 通 过 ✅ 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 回 溯 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 9 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 变 治 法 介 绍 一 种 有 魔 力 的 ， 可 以 将 复 杂 问 题 化 繁 为 简 ， 化 腐 朽 为 神 奇 的 算 法 模 式 ： 变 治 法 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 “ 一 步 三 回 头 ” 、 “ 落 棋 有 悔 ” 的 算 法 模 式 ： 回 溯 。 回 溯 “ 回 溯 ” 算 法 也 叫 “ 回 溯 搜 索 ” 算 法 ， 主 要 用 于 在 一 个 庞 大 的 空 间 里 搜 索 我 们 所 需 要 的 问 题 的 解 。 我 们 每 天 使 用 的 “ 搜 索 引 擎 ” 就 是 帮 助 我 们 在 庞 大 的 互 联 网 上 搜 索 我 们 需 要 的 信 息 。 “ 搜 索 ” 引 擎 的 “ 搜 索 ” 和 “ 回 溯 搜 索 ” 算 法 的 “ 搜 索 ” 意 思 是 一 样 的 。 “ 回 溯 ” 指 的 是 “ 状 态 重 置 ” ， 可 以 理 解 为 “ 回 到 过 去 ” 、 “ 恢 复 现 场 ” ， 是 在 编 码 的 过 程 中 ， 是 为 了 节 约 空 间 而 使 用 的 一 种 技 巧 。 而 回 溯 其 实 是 “ 深 度 优 先 遍 历 ” 特 有 的 一 种 现 象 。 之 所 以 是 “ 深 度 优 先 遍 历 ” ， 是 因 为 我 们 要 解 决 的 问 题 通 常 是 在 一 棵 树 上 完 成 的 ， 在 这 棵 树 上 搜 索 需 要 的 答 案 ， 一 般 使 用 深 度 优 先 遍 历 。 “ 全 排 列 ” 就 是 一 个 非 常 经 典 的 “ 回 溯 ” 算 法 的 应 用 。 我 们 知 道 ， N 个 数 字 的 全 排 列 一 共 有 \ \ $ N ! \ \ $ 这 么 多 个 。 使 用 编 程 的 方 法 得 到 全 排 列 ， 就 是 在 这 样 的 一 个 树 形 结 构 中 进 行 编 程 ， 具 体 来 说 ， 就 是 执 行 一 次 深 度 优 先 遍 历 ， 从 树 的 根 结 点 到 叶 子 结 点 形 成 的 路 径 就 是 一 个 全 排 列 。 说 明 ： 每 一 个 结 点 表 示 了 “ 全 排 列 ” 问 题 求 解 的 不 同 阶 段 ， 这 些 阶 段 通 过 变 量 的 “ 不 同 的 值 ” 体 现 ； 这 些 变 量 的 不 同 的 值 ， 也 称 之 为 “ 状 态 ” ； 使 用 深 度 优 先 遍 历 有 “ 回 头 ” 的 过 程 ， 在 “ 回 头 ” 以 后 ， 状 态 变 量 需 要 设 置 成 为 和 先 前 一 样 ； 因 此 在 回 到 上 一 层 结 点 的 过 程 中 ， 需 要 撤 销 上 一 次 选 择 ， 这 个 操 作 也 称 之 为 “ 状 态 重 置 ” ； 深 度 优 先 遍 历 ， 可 以 直 接 借 助 系 统 栈 空 间 ， 为 我 们 保 存 所 需 要 的 状 态 变 量 ， 在 编 码 中 只 需 要 注 意 遍 历 到 相 应 的 结 点 的 时 候 ， 状 态 变 量 的 值 是 正 确 的 ， 具 体 的 做 法 是 ： 往 下 走 一 层 的 时 候 ， p a t h 变 量 在 尾 部 追 加 ， 而 往 回 走 的 时 候 ， 需 要 撤 销 上 一 次 的 选 择 ， 也 是 在 尾 部 操 作 ， 因 此 p a t h 变 量 是 一 个 栈 。 深 度 优 先 遍 历 通 过 “ 回 溯 ” 操 作 ， 实 现 了 全 局 使 用 一 份 状 态 变 量 的 效 果 。 解 决 一 个 回 溯 问 题 ， 实 际 上 就 是 一 个 决 策 树 的 遍 历 过 程 。 只 需 要 思 考 3 个 问 题 ： 路 径 ： 也 就 是 已 经 做 出 的 选 择 。 选 择 列 表 ： 也 就 是 你 当 前 可 以 做 的 选 择 。 结 束 条 件 ： 也 就 是 到 达 决 策 树 底 层 ， 无 法 再 做 选 择 的 条 件 。 这 三 个 问 题 也 就 对 应 回 溯 三 部 曲 ： 定 义 递 归 函 数 以 及 参 数 确 定 递 归 终 止 条 件 思 考 递 归 单 层 搜 索 逻 辑 代 码 方 面 ， 回 溯 算 法 的 框 架 ： r e s u l t = [ ] d e f b a c k t r a c k ( 路 径 , 选 择 列 表 ) : i f 满 足 结 束 条 件 : r e s u l t . a d d ( 路 径 ) r e t u r n f o r 选 择 i n 选 择 列 表 : 做 选 择 b a c k t r a c k ( 路 径 , 选 择 列 表 ) 撤 销 选 择 其 核 心 就 是 f o r 循 环 里 面 的 递 归 ， 在 递 归 调 用 之 前 「 做 选 择 」 ， 在 递 归 调 用 之 后 「 撤 销 选 择 」 ， 特 别 简 单 。 必 须 说 明 的 是 ， 不 管 怎 么 优 化 ， 都 符 合 回 溯 框 架 ， 而 且 时 间 复 杂 度 都 不 可 能 低 于 \ \ $ O ( N ! ) \ \ $ ， 因 为 穷 举 整 棵 决 策 树 是 无 法 避 免 的 。 这 也 是 回 溯 算 法 的 一 个 特 点 ， 不 像 动 态 规 划 存 在 重 叠 子 问 题 可 以 优 化 ， 回 溯 算 法 就 是 纯 暴 力 穷 举 ， 复 杂 度 一 般 都 很 高 。 玩 回 溯 ， 一 定 要 画 出 递 归 调 用 树 。 这 样 可 以 帮 助 我 们 更 深 入 地 理 解 整 个 回 溯 的 过 程 ， 方 便 进 一 步 剪 枝 优 化 。 回 溯 优 化 ， 重 要 的 是 ， 要 学 会 剪 枝 ！ L e e t C o d e 4 6 . 全 排 列 L e e t C o d e 4 6 . 全 排 列 给 定 一 个 不 含 重 复 数 字 的 数 组 n u m s ， 返 回 其 所 有 可 能 的 全 排 列 。 你 可 以 按 任 意 顺 序 返 回 答 案 。 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 变 治 法 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 8 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 分 治 法 介 绍 一 种 可 用 于 处 理 节 点 前 后 顺 序 的 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 有 魔 力 的 ， 可 以 将 复 杂 问 题 化 繁 为 简 ， 化 腐 朽 为 神 奇 的 算 法 模 式 ： 变 治 法 。 变 治 法 D 瓜 哥 最 早 知 道 变 治 法 也 是 在 《 算 法 设 计 与 分 析 基 础 》 中 。 这 里 也 直 接 引 用 该 书 的 介 绍 。 变 治 法 ， 就 是 基 于 变 换 的 一 种 思 想 方 法 ， 首 先 把 问 题 的 实 例 变 得 容 易 求 解 ， 然 后 进 行 求 解 。 变 治 法 的 工 作 可 以 分 成 两 个 阶 段 ： 首 先 把 问 题 变 得 更 容 易 求 解 ， 然 后 对 实 例 进 行 求 解 。 根 据 我 们 对 问 题 实 例 的 变 换 方 式 ， 变 治 思 想 有 3 种 主 要 的 类 型 ： 实 例 化 简 ( I n s t a n c e s i m p l i f i c a t i o n )   —   指 将 原 问 题 变 换 为 同 样 问 题 的 一 个 更 简 单 或 者 更 方 便 的 实 例 。 一 个 典 型 的 案 例 是 ： 去 重 时 ， 先 排 序 ， 列 表 预 排 序 检 验 数 组 中 元 素 的 唯 一 性 模 式 计 算 查 找 问 题 高 斯 消 元 法 系 数 矩 阵 的 L U 分 解 ( L U d e c o m p o s i t i o n ) 计 算 矩 阵 的 逆 计 算 矩 阵 的 行 列 式 A V L 树 改 变 表 现 ( R e p r e s e n t a t i o n C h a n g e )   —   指 将 原 问 题 变 换 为 同 样 实 例 的 不 同 表 现 。 经 典 的 栗 子 ： 霍 纳 法 则 。 多 路 平 衡 查 找 树 （ 最 简 单 的 情 况 ： 2 3 树 ） 求 多 项 式 的 霍 纳 法 则 两 种 二 进 制 幂 算 法 堆 排 序 问 题 化 简 ( P r o b l e m r e d u c t i o n )   —   指 把 一 个 给 定 的 问 题 变 换 为 另 一 个 可 以 用 已 知 算 法 求 解 的 问 题 。 （ 归 化 思 想 ） 转 换 的 难 题 在 于 如 何 找 到 一 个 变 换 的 目 标 算 法 。 典 型 案 例 是 背 包 问 题 ， 背 包 问 题 的 本 质 是 线 性 规 划 。 了 解 了 线 性 规 划 的 本 质 后 ， 才 能 更 好 地 解 决 高 维 的 背 包 问 题 。 求 最 小 公 倍 数 计 算 图 中 的 路 径 数 量 最 优 化 问 题 （ 最 大 化 问 题 ( m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ) 、 最 小 化 问 题 ( m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ) ） 线 性 规 划 （ 单 纯 形 法 、 0 / 1 背 包 问 题 ） 简 化 为 图 问 题 L e e t C o d e 4 7 4 . 一 和 零 L e e t C o d e 4 7 4 . 一 和 零 给 你 一 个 二 进 制 字 符 串 数 组 s t r s 和 两 个 整 数 m 和 n 。 请 你 找 出 并 返 回 s t r s 的 最 大 子 集 的 长 度 ， 该 子 集 中 最 多 有 m 个 0 和 n 个 1 。 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 分 治 法 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 7 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 减 治 法 介 绍 一 种 有 魔 力 的 ， 可 以 将 复 杂 问 题 化 繁 为 简 ， 化 腐 朽 为 神 奇 的 算 法 模 式 ： 减 治 法 。 本 篇 文 章 ， 继 续 介 绍 一 种 有 魔 力 的 ， 可 以 将 复 杂 问 题 化 繁 为 简 ， 化 腐 朽 为 神 奇 的 算 法 模 式 ： 分 治 法 。 分 治 法 关 于 分 治 法 的 内 容 ， 这 里 继 续 参 考 《 算 法 设 计 与 分 析 基 础 》 中 的 内 容 。 分 治 法 是 按 照 以 下 方 案 工 作 的 。 将 一 个 问 题 划 分 为 同 一 类 型 的 若 干 子 问 题 ， 子 问 题 最 好 规 模 相 同 。 对 这 些 子 问 题 求 解 （ 一 般 使 用 递 归 方 法 ， 但 在 问 题 规 模 足 够 小 时 ， 有 时 也 会 利 用 另 一 个 算 法 ） 。 有 必 要 的 话 ， 合 并 这 些 子 问 题 的 解 ， 以 得 到 原 始 问 题 的 答 案 。 图 1 . 分 治 法 从 字 面 上 分 析 就 可 以 看 到 有 哪 些 步 骤 ： 分 分 解 将 问 题 分 解 为 规 模 更 小 的 子 问 题 ， 子 问 题 最 好 相 同 或 相 似 ； 治 求 解 将 这 些 规 模 更 小 的 子 问 题 逐 个 击 破 ； 合 合 并 将 已 解 决 的 子 问 题 合 并 ， 最 终 得 出 原 问 题 的 解 ； 从 上 述 步 骤 中 我 们 可 以 看 出 ， 分 治 算 法 一 般 适 用 满 足 以 下 条 件 的 场 景 ： 问 题 规 模 缩 小 到 一 定 的 程 度 就 可 以 很 容 易 解 决 ； 问 题 可 以 分 解 为 若 干 个 规 模 较 小 的 相 同 问 题 ； 问 题 分 解 出 的 若 干 子 问 题 的 解 可 以 合 并 为 该 问 题 的 解 ； 每 个 子 问 题 都 是 独 立 的 ， 相 互 之 间 没 有 交 集 。 （ 这 是 区 别 分 治 法 与 减 ） 在 “ 分 ” 的 过 程 中 ， 我 们 尽 可 能 让 分 解 出 的 子 问 题 与 原 始 问 题 相 似 ， 而 规 模 更 小 。 这 刚 好 符 合 递 归 的 特 性 。 因 此 ， 分 治 法 往 往 与 递 归 联 系 在 一 起 。 在 分 治 法 最 典 型 的 运 用 中 ， 问 题 规 模 为 n 的 实 例 被 划 分 为 两 个 规 模 为 n / 2 的 实 例 。 更 一 般 的 情 况 下 ， 一 个 规 模 为 n 的 实 例 可 以 划 分 为 b 个 规 模 为 n / b 的 实 例 ， 其 中 a 个 实 例 需 要 求 解 （ 这 里 ， a 和 b 是 常 量 ， a ≥ 1 ， b > 1 ） 。 \ \ $ T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n ) \ \ $ 其 中 ， \ \ $ f ( n ) \ \ $ 是 一 个 函 数 ， 表 示 将 问 题 分 解 为 小 问 题 和 将 结 果 合 并 起 来 所 消 耗 的 时 间 分 治 法 的 典 型 案 例 如 下 ： 归 并 排 序 快 速 排 序 二 叉 树 的 经 典 遍 历 算 法 和 其 他 类 似 的 算 法 都 需 要 递 归 处 理 左 右 两 棵 子 树 S t r a s s e n 算 法 最 近 对 问 题 凸 包 问 题 分 治 法 对 分 治 出 的 部 分 需 要 分 别 处 理 ， 进 行 分 开 的 单 独 计 算 ， 而 减 治 法 则 利 用 了 一 个 问 题 给 定 实 例 的 解 和 同 样 问 题 较 小 实 例 的 解 之 间 的 关 系 ， 只 针 对 部 分 子 问 题 求 解 ， 减 治 掉 的 那 部 分 就 不 需 要 了 。 减 常 因 子 的 减 治 法 也 可 以 看 做 是 分 治 的 变 种 。 L e e t C o d e 1 4 8 . 排 序 链 表 L e e t C o d e 1 4 8 . 排 序 链 表 给 你 链 表 的 头 结 点 h e a d ， 请 将 其 按 升 序 排 列 并 返 回 排 序 后 的 链 表 。 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 减 治 法 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 6 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 介 绍 一 种 可 用 于 处 理 节 点 前 后 顺 序 的 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 有 魔 力 的 ， 可 以 将 复 杂 问 题 化 繁 为 简 ， 化 腐 朽 为 神 奇 的 算 法 模 式 ： 减 治 法 。 减 治 法 D 瓜 哥 最 早 知 道 减 治 法 是 在 《 算 法 设 计 与 分 析 基 础 》 中 。 这 里 也 直 接 引 用 该 书 的 介 绍 。 减 治 ( d e c r e a s e a n d c o n q u e r ) 技 术 利 用 了 一 个 问 题 给 定 实 例 的 解 和 同 样 问 题 较 小 实 例 的 解 之 间 的 某 种 关 系 。 自 底 向 上 版 本 往 往 是 迭 代 实 现 的 ， 从 求 解 问 题 的 一 个 较 小 实 例 开 始 ， 该 方 法 有 时 也 称 为 增 量 法 ( I n c r e m e n t a l A p p r o a c h ) 。 减 治 法 有 3 种 主 要 的 变 化 形 式 ： 减 去 一 个 常 量 。 在 减 常 量 ( d e c r e a s e b y a c o n s t a n t ) 变 化 形 式 中 ， 每 次 算 法 迭 代 总 是 从 实 例 中 减 去 一 个 相 同 的 常 量 。 插 入 排 序 减 去 一 个 常 量 因 子 。 减 常 因 子 ( d e c r e a s e b y a c o n s t a n t f a c t o r ) 技 术 意 味 着 在 算 法 的 每 次 迭 代 中 ， 总 是 从 实 例 的 规 模 中 减 去 一 个 相 同 的 常 数 因 子 。 在 大 多 数 应 用 中 ， 这 样 的 常 数 因 子 等 于 2 ， 其 实 就 是 减 半 。 二 分 查 找 减 去 的 规 模 是 可 变 的 。 在 减 治 法 的 减 可 变 规 模 ( v a r i a b l e s i z e d e c r e a s e ) 变 化 形 式 中 ， 算 法 在 每 次 迭 代 时 ， 规 模 减 小 的 模 式 都 是 不 同 的 。 计 算 最 大 公 约 数 的 欧 几 里 得 算 法 是 这 种 情 况 的 一 个 很 好 的 例 子 。 \ \ $ g c d ( m , n ) = g c d ( n , m m o d n ) \ \ $ L e e t C o d e 5 0 . P o w ( x , n ) L e e t C o d e 5 0 . P o w ( x , n ) 实 现 p o w ( x , n ) ， 即 计 算 x 的 整 数 n 次 幂 函 数 （ 即 ， x n ） 。 示 例 1 ： 输 入 ： x = 2 . 0 0 0 0 0 , n = 1 0 输 出 ： 1 0 2 4 . 0 0 0 0 0 示 例 2 ： 输 入 ： x = 2 . 1 0 0 0 0 , n = 3 输 出 ： 9 . 2 6 1 0 0 示 例 3 ： 输 入 ： x = 2 . 0 0 0 0 0 , n = 2 输 出 ： 0 . 2 5 0 0 0 解 释 ： 2 2 = 1 / 2 2 = 1 / 4 = 0 . 2 5 提 示 ： 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 4 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 并 查 集 介 绍 一 种 关 于 特 殊 的 树 的 算 法 模 式 ： 并 查 集 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 可 用 于 处 理 节 点 前 后 顺 序 的 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 。 拓 扑 排 序 拓 扑 排 序 模 式 用 来 寻 找 一 种 线 性 的 顺 序 ， 这 些 元 素 之 间 具 有 依 懒 性 。 比 如 ， 如 果 事 件 B 依 赖 于 事 件 A ， 那 A 在 拓 扑 排 序 顺 序 中 排 在 B 的 前 面 。 这 种 模 式 定 义 了 一 种 简 单 方 式 来 理 解 拓 扑 排 序 这 种 技 术 。 这 种 模 式 是 这 样 奏 效 的 ： 初 始 化 借 助 于 M a p 将 图 保 存 成 邻 接 表 形 式 。 找 到 所 有 的 起 点 ， 用 M a p 来 帮 助 记 录 每 个 节 点 的 入 度 创 建 图 ， 找 到 每 个 节 点 的 入 度 利 用 输 入 ， 把 图 建 好 ， 然 后 遍 历 一 下 图 ， 将 入 度 信 息 记 录 在 M a p 中 找 所 有 的 起 点 所 有 入 度 为 0 的 节 点 ， 都 是 有 效 的 起 点 ， 而 且 我 们 讲 他 们 都 加 入 到 一 个 队 列 中 排 序 对 每 个 起 点 ， 执 行 以 下 步 骤 把 它 加 到 结 果 的 顺 序 中 将 其 在 图 中 的 孩 子 节 点 取 到 将 其 孩 子 的 入 度 减 少 1 如 果 孩 子 的 入 度 变 为 0 ， 则 改 孩 子 节 点 成 为 起 点 ， 将 其 加 入 队 列 中 重 复 上 述 过 程 ， 直 到 起 点 队 列 为 空 。 用 一 句 话 概 括 ： 将 依 赖 关 系 转 化 成 一 张 有 向 图 ， 如 果 这 张 图 中 的 节 点 没 有 循 环 依 赖 ， 那 么 则 方 案 可 行 ， 否 则 方 案 不 可 行 。 这 里 解 释 的 是 一 种 广 度 优 先 搜 索 ， 还 存 在 一 种 深 度 优 先 搜 索 的 处 理 办 法 ， 感 兴 趣 可 以 尝 试 一 下 。 拓 扑 排 序 模 式 识 别 ： 待 解 决 的 问 题 需 要 处 理 无 环 图 你 需 要 以 一 种 有 序 的 秩 序 更 新 输 入 元 素 需 要 处 理 的 输 入 遵 循 某 种 特 定 的 顺 序 L e e t C o d e 2 0 7 . 课 程 表 L e e t C o d e 2 0 7 . 课 程 表 你 这 个 学 期 必 须 选 修 n u m C o u r s e s 门 课 程 ， 记 为 0 到 n u m C o u r s e s 1 。 在 选 修 某 些 课 程 之 前 需 要 一 些 先 修 课 程 。 先 修 课 程 按 数 组 p r e r e q u i s i t e s 给 出 ， 其 中 p r e r e q u i s i t e s [ i ] = [ a i , b i ] ， 表 示 如 果 要 学 习 课 程 a i 则 必 须 先 学 习 课 程 b i 。 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 并 查 集 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 3 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 前 缀 树 介 绍 一 种 关 于 特 殊 的 树 的 算 法 模 式 。 本 篇 文 章 ， 再 介 绍 一 种 关 于 特 殊 的 树 的 算 法 模 式 ： 并 查 集 。 并 查 集 并 查 集 算 法 ， 英 文 是 U n i o n F i n d ， 是 解 决 动 态 连 通 性 （ D y n a m i c C o n e c t i v i t y ） 问 题 的 一 种 算 法 。 动 态 连 通 性 是 计 算 机 图 论 中 的 一 种 数 据 结 构 ， 动 态 维 护 图 结 构 中 相 连 信 息 。 简 单 的 说 就 是 ， 图 中 各 个 节 点 之 间 是 否 相 连 、 如 何 将 两 个 节 点 连 接 ， 连 接 后 还 剩 多 少 个 连 通 分 量 。 动 态 连 通 性 其 实 可 以 抽 象 成 给 一 幅 图 连 线 。 假 设 用 一 个 数 组 表 示 一 堆 节 点 ， 每 个 节 点 都 是 一 个 连 通 分 量 。 初 始 化 视 图 如 下 ： 图 1 . 并 查 集 初 始 化 并 查 集 的 一 个 重 要 操 作 是 u n i o n ( a , b ) ， 就 是 将 节 点 a 和 节 点 b 建 立 连 接 。 如 图 所 示 ： 图 2 . 并 查 集 合 并 u n i o n ( a , b ) 还 可 以 将 已 经 建 立 的 两 个 “ 子 网 ” 进 行 连 接 ： 图 3 . 并 查 集 再 合 并 并 查 集 除 了 u n i o n ， 还 有 一 个 重 要 操 作 是 c o n n n e c t e d ( a , b ) 。 判 断 方 法 也 很 简 单 ， 从 节 点 a 和 b 开 始 ， 向 上 查 找 ， 直 到 两 个 节 点 的 根 节 点 ， 判 断 两 个 根 节 点 是 否 相 等 即 可 判 断 两 个 节 点 是 否 已 经 连 接 。 为 了 加 快 这 个 判 断 速 度 ， 可 以 对 其 进 行 “ 路 径 压 缩 ” ， 直 白 点 说 ， 就 是 将 所 有 树 的 节 点 ， 都 直 接 指 向 根 节 点 ， 这 样 只 需 要 一 步 即 可 到 达 根 节 点 。 路 径 压 缩 如 图 所 示 ： 图 4 . 并 查 集 路 径 压 缩 简 单 代 码 实 现 如 下 ： p a c k a g e c o m . d i g u a g e . l a b s ; i m p o r t j a v a . u t i l . A r r a y L i s t ; i m p o r t j a v a . u t i l . L i s t ; / * * * 并 查 集 * * P S ： 没 想 到 代 码 竟 然 一 次 通 过 。 * * @ a u t h o r D 瓜 哥 · h t t p s : / / w w w . d i g u a g e . c o m * @ s i n c e 2 0 2 5 0 4 0 3 1 5 : 2 2 : 4 1 * / p u b l i c c l a s s U n i o n F i n d / / 路 径 压 缩 / / 只 有 一 步 ， 无 需 缩 短 路 径 i f ( p a t h . s i z e ( ) = = 1 ) f o r ( I n t e g e r i d x : p a t h ) } r e t u r n a p ; } p u b l i c s t a t i c v o i d m a i n ( S t r i n g [ ] a r g s ) } 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 前 缀 树 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 2 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 深 度 优 先 搜 索 介 绍 了 介 绍 一 种 即 适 用 于 树 ， 又 适 用 于 图 的 的 算 法 模 式 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 关 于 特 殊 的 树 的 算 法 模 式 ： 前 缀 树 。 前 缀 树 前 缀 树 ， 又 称 为 字 典 树 ， 还 叫 单 词 查 找 树 ， 英 文 是 T r i e ， 也 有 叫 P r e f i x T r e e 。 顾 名 思 义 ， 就 是 一 个 像 字 典 一 样 的 树 。 如 图 ： 图 1 . 前 缀 树 前 缀 树 是 一 种 有 序 树 ， 用 于 保 存 关 联 数 组 ， 其 中 的 键 通 常 是 字 符 串 。 与 二 叉 查 找 树 不 同 ， 键 不 是 直 接 保 存 在 节 点 中 ， 而 是 由 节 点 在 树 中 的 位 置 决 定 。 一 个 节 点 的 所 有 子 孙 都 有 相 同 的 前 缀 ， 也 就 是 这 个 节 点 对 应 的 字 符 串 ， 而 根 节 点 对 应 空 字 符 串 。 一 般 情 况 下 ， 不 是 所 有 的 节 点 都 有 对 应 的 值 ， 只 有 叶 子 节 点 和 部 分 内 部 节 点 所 对 应 的 键 才 有 相 关 的 值 。 L e e t C o d e 2 0 8 . 实 现 T r i e ( 前 缀 树 ) L e e t C o d e 2 0 8 . 实 现 T r i e ( 前 缀 树 ) T r i e （ 发 音 类 似 t r y ） 或 者 说 前 缀 树 是 一 种 树 形 数 据 结 构 ， 用 于 高 效 地 存 储 和 检 索 字 符 串 数 据 集 中 的 键 。 这 一 数 据 结 构 有 相 当 多 的 应 用 情 景 ， 例 如 自 动 补 全 和 拼 写 检 查 。 请 你 实 现 T r i e 类 ： T r i e ( ) 初 始 化 前 缀 树 对 象 。 v o i d i n s e r t ( S t r i n g w o r d ) 向 前 缀 树 中 插 入 字 符 串 w o r d 。 b o o l e a n s e a r c h ( S t r i n g w o r d ) 如 果 字 符 串 w o r d 在 前 缀 树 中 ， 返 回 t r u e （ 即 ， 在 检 索 之 前 已 经 插 入 ） ； 否 则 ， 返 回 f a l s e 。 b o o l e a n s t a r t s W i t h ( S t r i n g p r e f i x ) 如 果 之 前 已 经 插 入 的 字 符 串 w o r d 的 前 缀 之 一 为 p r e f i x ， 返 回 t r u e ； 否 则 ， 返 回 f a l s e 。 示 例 ： 输 入 [ T r i e , i n s e r t , s e a r c h , s e a r c h , s t a r t s W i t h , i n s e r t , s e a r c h ] [ [ ] , [ a p p l e ] , [ a p p l e ] , [ a p p ] , [ a p p ] , [ a p p ] , [ a p p ] ] 输 出 [ n u l l , n u l l , t r u e , f a l s e , t r u e , n u l l , t r u e ] 解 释 T r i e t r i e = n e w T r i e ( ) ; t r i e . i n s e r t ( a p p l e ) ; t r i e . s e a r c h ( a p p l e ) ; / / 返 回 T r u e t r i e . s e a r c h ( a p p ) ; / / 返 回 F a l s e t r i e . s t a r t s W i t h ( a p p ) ; / / 返 回 T r u e t r i e . i n s e r t ( a p p ) ; t r i e . s e a r c h ( a p p ) ; / / 返 回 T r u e 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 深 度 优 先 搜 索 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 4 0 1 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 广 度 优 先 搜 索 介 绍 了 介 绍 一 种 即 适 用 于 树 ， 又 适 用 于 图 的 的 算 法 模 式 。 本 篇 文 章 ， 继 续 介 绍 一 种 即 适 用 于 树 ， 又 适 用 于 图 的 的 算 法 模 式 ： 深 度 优 先 搜 索 。 深 度 优 先 搜 索 深 度 优 先 搜 索 主 要 思 路 是 从 图 中 一 个 未 访 问 的 顶 点 V 开 始 ， 沿 着 一 条 路 一 直 走 到 底 ， 然 后 从 这 条 路 尽 头 的 节 点 回 退 到 上 一 个 节 点 ， 再 从 另 一 条 路 开 始 走 到 底 … ​ ， 不 断 递 归 重 复 此 过 程 ， 直 到 所 有 的 顶 点 都 遍 历 完 成 ， 它 的 特 点 是 不 撞 南 墙 不 回 头 ， 先 走 完 一 条 路 ， 再 换 一 条 路 继 续 走 。 树 是 图 的 一 种 特 例 ( 连 通 无 环 的 图 就 是 树 ) ， 所 以 ， 深 度 优 先 搜 索 也 适 用 于 树 。 在 对 树 做 深 度 优 先 搜 索 时 ， 可 以 用 递 归 （ 或 显 式 栈 ， 如 果 你 想 用 迭 代 方 式 的 话 ） 来 记 录 遍 历 过 程 中 访 问 过 的 父 节 点 。 运 行 方 式 是 从 根 节 点 开 始 ， 如 果 该 节 点 不 是 叶 子 节 点 ， 我 们 需 要 干 三 件 事 ： 需 要 区 别 我 们 是 先 处 理 根 节 点 （ p r e o r d e r ， 前 序 ） ， 处 理 孩 子 节 点 之 间 处 理 根 节 点 （ i n o r d e r ， 中 序 ） ， 还 是 处 理 完 所 有 孩 子 再 处 理 根 节 点 （ p o s t o r d e r ， 后 序 ） 。 递 归 处 理 当 前 节 点 的 左 右 孩 子 。 L e e t C o d e 1 2 4 . 二 叉 树 中 的 最 大 路 径 和 L e e t C o d e 1 2 4 . 二 叉 树 中 的 最 大 路 径 和 二 叉 树 中 的 路 径 被 定 义 为 一 条 节 点 序 列 ， 序 列 中 每 对 相 邻 节 点 之 间 都 存 在 一 条 边 。 同 一 个 节 点 在 一 条 路 径 序 列 中 至 多 出 现 一 次 。 该 路 径 至 少 包 含 一 个 节 点 ， 且 不 一 定 经 过 根 节 点 。 路 径 和 是 路 径 中 各 节 点 值 的 总 和 。 给 你 一 个 二 叉 树 的 根 节 点 r o o t ， 返 回 其 最 大 路 径 和 。 示 例 1 ： 1 / \ \ 2 3 输 入 ： r o o t = [ 1 , 2 , 3 ] 输 出 ： 6 解 释 ： 最 优 路 径 是 2 1 3 ， 路 径 和 为 2 + 1 + 3 = 6 示 例 2 ： 1 0 / \ \ 9 2 0 / \ \ 1 5 7 输 入 ： r o o t = [ 1 0 , 9 , 2 0 , n u l l , n u l l , 1 5 , 7 ] 输 出 ： 4 2 解 释 ： 最 优 路 径 是 1 5 2 0 7 ， 路 径 和 为 1 5 + 2 0 + 7 = 4 2 阅 读 全 文 … 算 法 模 式 ： 广 度 优 先 搜 索 D 瓜 哥 2 0 2 5 0 3 3 1 算 法 在 上 一 篇 文 章 算 法 模 式 ： 多 路 归 并 介 绍 了 一 种 利 用 堆 做 链 表 合 并 的 算 法 模 式 。 本 篇 文 章 ， 介 绍 一 种 即 适 用 于 树 ， 又 适 用 于 图 的 的 算 法 模 式 ： 广 度 优 先 搜 索 。 广 度 优 先 搜 索 广 度 优 先 搜 索 既 适 用 于 树 ， 又 适 用 于 图 。 除 此 之 外 ， 在 处 理 一 些 矩 阵 问 题 时 ， 也 会 用 到 广 度 优 先 搜 索 的 思 想 。 当 然 ， 也 可 以 把 矩 阵 按 照 图 来 理 解 。 树 上 的 广 度 优 先 搜 索 模 式 是 通 过 把 根 节 点 加 到 队 列 中 ， 然 后 不 断 遍 历 直 到 队 列 为 空 。 每 一 次 循 环 中 ， 我 们 都 会 把 队 头 结 点 拿 出 来 （ r e m o v e ） ， 然 后 对 其 进 行 必 要 的 操 作 。 在 删 除 每 个 节 点 的 同 时 ， 其 孩 子 节 点 ， 都 会 被 加 到 队 列 中 。 借 助 于 队 列 数 据 结 构 ， 从 而 能 保 证 树 的 节 点 按 照 他 们 的 层 数 打 印 出 来 。 打 印 完 当 前 层 所 有 元 素 ， 才 能 执 行 到 下 一 层 。 所 有 这 种 需 要 遍 历 树 且 需 要 一 层 一 层 遍 历 的 问 题 ， 都 能 用 这 种 模 式 高 效 解 决 。 识 别 树 上 的 广 度 优 先 搜 索 ： 如 果 你 被 问 到 去 遍 历 树 ， 需 要 按 层 操 作 的 方 式 （ 也 称 作 层 序 遍 历 ） L e e t C o d e 1 0 2 . 二 叉 树 的 层 序 遍 历 L e e t C o d e 1 0 2 . 二 叉 树 的 层 序 遍 历 给 你 二 叉 树 的 根 节 点 r o o t ， 返 回 其 节 点 值 的 层 序 遍 历 。 （ 即 逐 层 地 ， 从 左 到 右 访 问 所 有 节 点 ） 。 示 例 1 ： 输 入 ： r o o t = [ 3 , 9 , 2 0 , n u l l , n u l l , 1 5 , 7 ] 输 出 ： [ [ 3 ] , [ 9 , 2 0 ] , [ 1 5 , 7 ] ] 示 例 2 ： 输 入 ： r o o t = [ 1 ] 输 出 ： [ [ 1 ] ] 示 例 3 ： 输 入 ： r o o t = [ ] 输 出 ： [ ] 提 示 ： 树 中 节 点 数 目 在 范 围 [ 0 , 2 0 0 0 ] 内 1 0 0 0 > l e v e l O r d e r ( T r e e N o d e r o o t ) L i s t > r e s u l t = n e w L i n k e d L i s t ( ) ; Q u e u e q u e u e = n e w L i n k e d L i s t ( ) ; q u e u e . o f f e r ( r o o t ) ; w h i l e ( ! q u e u e . i s E m p t y ( ) ) { i n t s i z e = q u e u e . s i z e ( ) ; L i s t l e v e l = n e w A r r a y L i s t ( s i z e ) ; f o r ( i n t i = 0 ; i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > » 微 信 公 众 号 知 识 星 球 近 期 文 章 算 法 模 式 ： 子 集 算 法 模 式 ： 回 溯 算 法 模 式 ： 变 治 法 算 法 模 式 ： 分 治 法 算 法 模 式 ： 减 治 法 算 法 模 式 ： 拓 扑 排 序 算 法 模 式 ： 并 查 集 算 法 模 式 ： 前 缀 树 算 法 模 式 ： 深 度 优 先 搜 索 算 法 模 式 ： 广 度 优 先 搜 索 算 法 模 式 ： 多 路 归 并 算 法 模 式 ： 双 堆 算 法 模 式 ： 循 环 排 序 算 法 模 式 ： 快 速 选 择 算 法 模 式 ： T o p K 问 题 算 法 模 式 ： 单 调 栈 算 法 模 式 ： 滑 动 窗 口 算 法 模 式 ： 双 指 针 算 法 模 式 ： 快 慢 指 针 算 法 模 式 ： 区 间 合 并 分 类 个 人 成 长 分 布 式 开 发 工 具 性 能 优 化 操 作 系 统 数 据 存 储 文 学 方 法 论 程 序 设 计 算 法 系 统 架 构 经 济 金 融 编 程 语 言 网 络 职 业 发 展 软 件 工 程 逸 闻 趣 事 阅 读 摘 要 标 签 G C ( 9 ) H T T P ( 1 ) J a v a ( 6 3 ) J V M ( 2 ) K P I ( 4 ) K u b e r n e t e s ( 1 0 ) L i n u x ( 1 2 ) O K R ( 5 ) R e d i s ( 2 ) S h e l l ( 1 ) S p r i n g ( 2 5 ) T C P ( 2 ) U D P ( 1 ) Z o o K e e p e r ( 2 ) 个 人 提 升 ( 1 0 ) 书 籍 ( 1 5 ) 产 品 ( 7 ) 债 券 ( 1 ) 分 布 式 ( 1 5 ) 分 治 ( 1 ) 动 态 规 划 ( 1 ) 团 队 建 设 ( 6 ) 团 队 文 化 ( 4 ) 图 ( 7 ) 基 金 ( 1 ) 堆 ( 3 ) 存 储 ( 4 ) 工 作 方 法 ( 5 ) 并 发 ( 3 ) 序 列 化 ( 1 0 ) 微 服 务 ( 1 7 ) 心 理 学 ( 1 ) 性 能 测 试 ( 4 ) 投 资 理 财 ( 5 ) 数 据 库 ( 1 0 ) 数 据 结 构 ( 4 ) 数 组 ( 1 3 ) 方 法 论 ( 1 3 ) 旅 行 ( 1 ) 最 佳 实 践 ( 1 0 ) 架 构 ( 4 1 ) 栈 ( 3 ) 树 ( 1 1 ) 沟 通 技 巧 ( 1 ) 源 码 分 析 ( 8 ) 理 财 ( 1 ) 生 活 ( 1 ) 笔 记 ( 5 ) 算 法 ( 8 ) 算 法 模 式 ( 2 3 ) 经 济 ( 1 ) 编 码 ( 3 ) 网 络 ( 2 ) 翻 译 ( 7 ) 股 票 ( 5 ) 脑 图 ( 5 ) 节 日 ( 1 ) 英 语 ( 1 ) 虚 拟 机 ( 9 ) 论 文 ( 2 ) 设 计 ( 3 3 ) 设 计 模 式 ( 3 ) 诗 歌 ( 2 ) 读 书 ( 5 ) 递 归 ( 1 ) 金 融 ( 5 ) 链 表 ( 5 ) 面 向 对 象 ( 5 ) 领 域 驱 动 设 计 ( 5 ) 社 交 T w i t t e r G i t H u b l e e j u n 1 1 9 @ g m a i l . c o m © 2 0 2 5 地 瓜 哥 博 客 网 . 基 于 H u g o 引 擎 和 M a i n r o a d 主 题 京 I C P 备 1 4 0 4 6 4 5 0 号 4

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